W odcinku „Fano a Yijing” z 25 maja b.r. (2017) przypuściłem, że 64 heksagramy Księgi Przemian mają coś wspólnego z wielkimi arkanami tarota. Czym są heksagramy, wszyscy wiedzą, ale przypomnę. Składają się z sześciu linii ustawionych jedna nad drugą, licząc od dołu. Linie mogą być „słabe” czyli przerywane albo „mocne” czyli ciągłe. Oto przykładowy heksagram:

W klasycznym, znanym choćby z przekładu Richarda Wilhelma, porządku, ten heksagram ma numer 41 i tytuł tłumaczony jako „Pomniejszenie”, ale numeracją nie należy się przejmować, ponieważ jest ona w dużym stopniu przypadkowa. W Księdze z Mawangdui ten sam heksagram (z tym samym tytułem) ma numer 12. Istotą, ciałem heksagramu jest układ linii, a nie kolejny numer w Księdze ani tytuł.

Heksagramy będziemy zapisywać bardziej nowocześnie (i łatwiej) jako napisy z sześciu zer lub jedynek – bitów! – czyli jako liczby dwójkowe od 000000 = 0 do 111111=63. Przykładowy heksagram „Pomniejszenie” zapiszemy: 100011. Dlaczego tak, a nie odwrotnie? Ponieważ najniższa linia odpowiada najmniej znaczącemu bitowi. Jak linie w heksagramie idą od dołu do góry, tak bity (cyfry dwójkowe) idą od prawej (najmniejszej) do lewej (największej). Przy okazji warto sobie przypomnieć wartości kolejnych bitów:

– Taką ma wartość jedynka na kolejnej pozycji. Dlatego 000001=1, zaś 100000=32.

Heksagram „Pomniejszenie” ma wartość liczbową 100011 = 32+2+1 = 35. Tak naprawdę nie musimy niczego liczyć, ponieważ liczba dwójkowa (binarna, ciąg bitów) jest tak samo dobrą liczbą jak ta dziesiętna. Różnica tylko taka, że do czytania liczb dziesiętnych jesteśmy wytrenowani, a do binarnych nie. Ważne w tym jest to, że w samym ciele heksagramu czyli w układzie linii przerywanych lub ciągłych jest zapisana pewna liczba, która dla niego jest naturalna. Przy okazji: numery heksagramów w Księdze (tej klasycznej i tej z Mawangdui) idą od 1 do 64. Ich „naturalne” liczby idą od 0 do 63.

Wszystkie heksagramy możemy elegancko przedstawić w tabeli 8 na 8, np. takiej:

Wewnętrznych komórek nie zapełniam, ponieważ łatwo ich zawartość można sobie dośpiewać, dodając liczbę lewą i górną. Np. na przecięciu wiersza „32” i kolumny „3” leży liczba 32+3 = 35 … czyli nasz heksagram „Pomniejszenie”. (Warto dodać, że to „Pomniejszenie” ma sens pomniejszenia starań, wysiłków i ceremonialnych środków w magii.) W dalszym ciągu będziemy korzystać z tej tabeli lub podobnych.

Heksagramów jest 64 albo 8*8, albo 2^6 (2 do potęgi 6). Co jest oczywiste, bo ciągów 0/1 długości n jest 2^n (2 do n-tej). Od ciągów bitów możemy przejść do geometrii. Oto odcinek o długości 1 ma początek w punkcie [0] i koniec w punkcie [1] – tak jest w przestrzeni jednowymiarowej czyli na linii prostej. W przestrzeni dwuwymiarowej czyli na płaszczyźnie jego odpowiednikiem będzie kwadrat uczyniony z odcinków o długości 1. Jego cztery narożniki mają współrzędne: [00], [01], [10], [11]:

Tu jest coś ciekawego, ale jeszcze niewyraźnego: na wierzchołki [00] i [11] możemy patrzeć jak na punkty skrajne w tej strukturze, a pozostałe wierzchołki są od tamtych obu jednakowo odległe: o 1 bok kwadratu.

W przestrzeni trójwymiarowej będziemy mieli sześcian:

Jego wierzchołki dzielą się na 4 warstwy: skrajny punkt [000], przeciwny skrajny punkt [111], trzy punkty odległe o 1 krawędź od „początku”, które wśród swoich trzech bitów mają jedną jedynkę i dwa zera: [001], [010], [100], i trzy punkty z dwiema jedynkami i jednym zerem, które są odległe o 1 od „końca”: [011], [101], [110].

Ciekawe są te liczby w warstwach: 1 – 3 – 3 – 1.
W kwadracie było prościej: 1 – 2 – 1.
Czy coś to nam przypomina? Tak! To są wiersze trójkąta Pascala dla liczb 3 i 2, tyle ile wymiarów ma przestrzeń. Kolejne wiersze są:
1: 1 – 1
2: 1 – 2 – 1
3: 1 – 3 – 3 – 1
4: 1 – 4 – 6 – 4 – 1
5: 1 – 5 – 10 – 10 – 5 – 1
6: 1 – 6 – 15 – 20 – 15 – 6 – 1

Suma liczb w każdym wierszu równa jest 2^n. Dla sześciu: 64, tyle ile nas interesuje. Kolejne liczby „pascalowskie”, niezależnie od wymiaru n (lub liczby bajtów w ciągu), mają sens liczby ciągów, zawierających kolejno 0, 1, itd.., n jedynek i jednocześnie n, n-1... 0 zer. (Albo linii ciągłych bądź przerywanych w heksagramach.) Ciągi zawierające k jedynek i n-k zer tworzą warstwę jednakowo odległą od puntów skrajnych. Dla przestrzeni z nieparzystą liczbą wymiarów (jak 3 lub 5) są dwie warstwy maksymalnie odległe, czyli jakby równiki tej kostki. Kostka trójwymiarowa czyli sześcian ma dwa takie równiki po 3 punkty każdy. Kostka 5-wymiarowa ma dwa równiki po 10 wierzchołków. Kostki w przestrzeniach z parzystą liczba wymiarów mają pewną przyjemną właściwość: mają tylko jeden równik, co już widać przy kwadracie, gdzie na równiku leżą 2 punkty. W naszej, księgo-przemianowej 6-wymiarowej przestrzeni na równiku, jednakowo odległe o 3 krawędzie od skrajnych punktów, leżą wierzchołki (heksagramy!) w liczbie 20. Dwadzieścia punktów na równiku, plus 1, plus 1 jako punkty skrajne, to 22. Tyle ile wielkich arkanów tarota. Coś trzeba zrobić, żeby zrównać te dwa zbiory!

Najpierw znajdźmy, które to są – liczby binarne lub heksagramy – które należą do tej równikowej dwudziestki. Zawierają one po równo 3 zera i 3 jedynki. Wygodnie jest je zwizualizować jako koła:

Koła są jak widać podzielone na 6 sektorów. Sektory ciemne to jedynki, białe to zera. Każde takie koło możemy odczytać jako... (albo zamienić na...) liczbę binarną, zaczynając ciąg od kolejnej wyróżnionej szprychy. Wyniki z pierwszym kołem pokazuje oto tabelka:

Koło	Ciąg binarny	Liczba	*7
	000111 001110 011100 111000 110001 100011	7 14 28 56 49 35	1 2 4 8 7 5

„Obracając” powyższym kołem otrzymujemy 6 ciągów binarnych. (Kto chce, może je przerysować jako heksagramy.) Ciągi binarne czytamy jako liczby. Najmniejsza z nich, 000111 to siedem! Następne zaś to kolejno 7*2, 7*4 i 7*8. To nie jest takie dziwne, ponieważ cyfry rotujemy, czyli przesuwamy je o jedno miejsce do przodu, a na końcu dopisujemy cyfrę, która była z przodu. Jeśli na początku ciągu jest zero, to ta operacja jest po prostu mnożeniem przez 2. Kolejne liczby otrzymujemy przez pomnożenie przez 2, więc wynoszą one 7*2^k. Ale, co tu robi liczba 49? Zauważmy, że po 56 czyli 7*8 powinna przyjść liczba 112 = 7*16. Ale ona nie mieści się na skali od 0 do 63. Więc musi zostać obcięta modulo 63. Wynik to 112-63 = 49. Nie ma przypadków! Następna liczba 35 podobnie powstaje z pomnożenia 7*32. Lub z 49*2 = 98, z czego (każdy widzi) modulo 63 to 35.

W czwartej rubryce są mnożniki liczby 7. Ciekawe, że są to enneagramowe liczby 1 2 4 5 7 8, wewnętrzny cykl enneagramu: nie główny trójkąt, tylko punkty poza trójkątem, w trochę zmienionej kolejności. Są to zarazem cyfry w 1/7 jako ułamku dziesiętnym: 1/7 = 0.142857... – Coś w tym jest.

Przetwórzmy drugie koło, które na oko jest mniej regularne od pierwszego:

			Inwersja
	Ciąg binarny	Liczba	Ciąg binarny	Liczba
	001011 010110 101100 011001 110010 100101	11 22 44 25 50 37	110100 101001 010011 100110 001101 011010	52 41 19 38 13 26

Najpierw przestudiujmy kolumny jasnoszare – niebieskie później. Jak poprzednio z liczby 7, tak tutaj kolejne liczby powstają z 11. Ogólna ich formuła to: 11*2^k modulo 63. Liczba 25 to oczywiście 88-63. 37 to 100-63, a właściwie 11*32 modulo 63.

Kiedy będziemy produkować liczby binarne i dziesiętne z trzeciego koła, zauważymy, że są one inwersjami tych z koła nr dwa. Dlatego dla trzeciego koła nie rysowałem osobnej tabelki: liczby te zapisałem jako inwersje tych wcześniejszych. Czym jest inwersja? – Zamianą jedynki na zero i odwrotnie. Ma też ładną interpretację geometryczną: w wyniku inwersji wierzchołek n-wymiarowej kostki przechodzi w wierzchołek dokładnie przeciwny. Czyli ulega inwersji względem środka kostki. Gdy inwertowany ciąg binarny odczytamy jako liczbę (zwykłą, dziesiętną) A, to zobaczymy, że A + inv(A) = 63. Lub: inv(A) = A-63.

Liczby w niebieskiej kolumnie mają ogólna postać 13*2^k modulo 63. Sprawdź!

Przez obracanie trzema szaro-białymi kołami otrzymaliśmy już 18 ciągów binarnych-liczb-heksagramów. Brakuje dwóch. Powstają one z czwartego koła. Jednak „obracanie” tym kołem już przy drugim obrocie daje ten sam wynik, co na początku. Tak więc w tym schemacie otrzymujemy dwa binarne ciągi (lub heksagramy lub liczby). Oto one:

Rys.	Ciąg binarny	Liczba
	010101 101010	21 42

Powyższe liczby, 21 i 42, też możemy wtłoczyć w ogólny schemat. Są przecież równe 21*2 i 21*4 czyli 21*2^k albo 7*3*2^k. Widać, że liczbami z tego zestawu jakoś „rządzą” liczby pierwsze: 7, 11 oraz 13. A także 3.

Więcej ciągów binarnych („binarów”) z 3 zer i 3 jedynek nie ma – to jest ich pełny komplet, 20 egzemplarzy.

„Obracanie”, którego używałem wyżej, jest faktycznym obrotem w 6-wymiarowej przestrzeni. (Prócz tego, ta operacja na ciągach binarnych, w informatyce nazywana jest też rotacją.) Można sobie ten obrót wyobrazić na podobieństwo obrotu sześcianu wokół linii-osi idącej od punktu zerowego [000] do punktu skrajnego [111]. W sześcianie jest to obrót o 1/3 kąta pełnego czyli 120 stopni i przeprowadza on oś Z w oś X, oś X w Y, oś Y w Z. W 6-wymiarowej kostce obrót wokół osi od zerowego wierzchołka [000000] do szczytu [111111] przeprowadza kolejno osie jedna w drugą: X6 w X1, X1 w X2 itd. Wyniki tego obrotu dla wierzchołków widzimy wyżej w tabelach. Jedna rzecz może dziwić: skoro punktów na równiku jest 20, to obroty powinny być wykonywane o kąt 1/20 z 360° czyli o 18 stopni? (Lub jego wielokrotność.) A jednak nie. Obroty te są o wielokrotność kąta 1/6*360°. Wystarczy ich 6, żeby wrócić do punktu wyjścia. Tworzą grupę cykliczną rzędu 6, nie 20. Dzieje się tak dlatego, ze wierzchołki lezące na równiku, czyli równo odległe od obu skrajów kostki (od [000000] i od [111111]) należą do czterech rodzin, które nie mieszają się w wyniku tego obrotu. Do tego jedna z tych rodzin składa się z dwóch tylko wierzchołków, które w wyniku tego obrotu zamieniają się miejscami. Jest to niepojęte dla naszej trójwymiarowej wyobraźni, ale najwyraźniej tak jest.

Jak tych 20 binarów-liczb-heksagramów jest rozmieszczonych w kwadracie 8 na 8? Dla lepszej zabawy będę je przedstawiał kolejnymi rodzinami. Najpierw te robione przez liczbę SIEDEM, czyli 7, 14, 28, 56, 49, 35:

Jak widzimy, układają się na przekątnej. To coś musi znaczyć!

W kolejnej tabeli rozmieszczam już wszystkie, a ich rodziny oznaczam kolorami:
jasnoszary dla rodziny od liczby 7
żółty od liczby 11
niebieski od liczby 13
czerwony od liczby 3 (tzn. 7*3 = 21).

Tablica ta jest warta kontemplacji i studiowania, przy czym za liczby dziesiętne należy podstawiać sobie binary i heksagramy.

Do tych liczb (będących jednocześnie ciągami binarnymi i heksagramami) dołączam oba punkty skrajne czyli 0 i 63. Oto one po kolei, a w wierszu poniżej kolejne liczby od 0 do 21, oznaczając zarazem wielkie arkana tarota. (Twórcy Tarota byli uprzejmi ponumerować karty nowocześnie od zera: bo 0-Głupiec.)

Czy są tu jakieś podobieństwa, regularności? To będziemy badać w dalszym ciągu. Jednak już pobieżny rzut oka wskazuje, że Yijing i tarot posługują się odmiennymi kodami znaczeniowymi. Chociaż zapewne gdy przetłumaczymy jeden na drugi, to wzbogaci to rozumienie jednych i drugich, i heksagramów i kart.

Heksagram o wzorze 0 ma klasyczny numer 2, tytuł „Biorące”, co rozumie się jako „materia-Ziemia przyjmująca twórcze impulsy inteligencji-Nieba” (w Mawangdui nosi tytuł „Strumień”), podczas gdy atut nr 0 to Głupiec przedstawiający jednostkę zbłąkaną i zdezorientowaną na początku jej drogi. Znaczenia bardzo różne – ale w ich zestawieniu coś jest! Podobnie drugi skrajny punkt 63 jako heksagram ma numer 1, tytuł „Twórcze” (w Mawangdui „Klucz”) i oznacza niestrudzoną twórczą siłę, która emanuje z Nieba, natomiast odpowiednia karta atutowa tarota to 21-Świat, oznaczająca stan powszechnego spełnienia i kosmicznej równowagi. Znów coś innego – ale oba znaczenie jakoś wzajemnie się oświetlają.

Heksagram o wzorze 7 to „Ziemia nad Niebem” czyli nr 11 p.t. „Wielkość” i mówi on o „czasie wielkości, świetności i rozkwitu”. Odpowiedni atut to 1-Magik i zestawienie tych znaczeń nie razi, raczej dobrze uzupełnia. Ale inwersją tamtego punktu jest liczba 56, której wzór – „Niebo nad Ziemią” – ma heksagram nr 12, który w Mawangdui jest wprawdzie zatytułowany „Żona”, ale w kodzie klasycznym „Zastój” i oznacza czas, kiedy „Niebo i Ziemia, każde w swojej sferze, nie wpływają na siebie”. Tymczasem po stronie tarota odpowiada mu atut 20-Sąd Ostateczny, gdzie bez wątpienia Niebo na Ziemię działa, pod postacią trąbatego anioła budząc umarłych z grobów do nowego życia.

Takie i podobne zestawienia i rozważania niech będą dalszym ciągiem, który zapewne za jakiś czas nastąpi.